微分方程式

今回は、\(y'+ a(x)y=0\) の『一般解』を求めよう。 一般解とは、\(y'+ a(x)y=0\) の『解の公式』のようなものである。よって、\(y'+ a(x)y=0\) の一般解を求めることは、\(y'+ a(x)y=0\) の形の微分方程式をとりあえず完全制覇したと思ってよい。解き方は、第1回で解いた具体例に対する解法と何ら変わらないことは見て頂ければ解るだろう。

この記事では1階微分方程式の解法の基礎を学ぶことができる。２次方程式をはじめ、これまで習ってきた方程式と名の付くものと比較すると、比較にならないほど覚えるべきことは多くあるが、しっかり順序だてて学ぶことによって無理なく習得可能である。それは、実際に手を動かして実践してきた経験があるので自信をもって言うことができるのだ。

前回、『完全形の微分方程式』の解法を学んだ。今回は、与えられた微分方程式：$$M(x , y)+N(x , y)y'=0・・・①$$が完全形でない場合を考える。

今回は『完全形』の解き方を学んでいく。解き方は、これまでの方法とは異なるので心機一転臨んでほしい。

今回は型の最終形というべき『完全形』の微分方程式のついて学ぶ。 この型をマスターすることによって一応、１階線形微分方程式の解法は一区切りする。 『完全形』についての説明は、かなり詳しく説明したこともあって、全３回（第八回～第十回）にまとめた。長く感じるが、その分しっかりとした理解が約束される。

初めに これまで、１階の線形微分方程式について学んできた。（定義についてはこちら） 今回は、線形でないもの、すなわち『変数分離型』と呼ばれる微分方程式について学んでいこう。 変数分離型の微分方程式 \(f(y)\) を \(y\) について...

今回は『変数分離型の初期値問題』を考えよう。つまり問題は、 \begin{cases} y'=\frac{g(x)}{f(y)}\\ y_0=y(x_0) \end{cases}を解くというものである。

はじめに 第四回で『二の型』：\(y'+ a(x)y=b(x)\) の解法を学んだ。 第三回で『一の型』初期値問題を解いたのと同様に、今回は『二の型』の初期値問題を扱う。→第三回はこちら。 つまり問題は、 \begin{cases}y'+a...

今回からいよいよ一般の１階線形微分方程式$$y'+ a(x)y=b(x)$$の解法に入ろう。これを『二の型』と呼ぼう。 ここで、\(b(x)\) は \(b(x) \equiv 0\) でない連続関数とする。

無限個の解：\(y=Cexp(-\int a(x) dx)\)　\((C は定数)\) のうち、初期条件：\(y_0=y(x_0)\) を満たす解を求めるためにはどうすればよいのだろうか？ 目標は、\(y_0=y(x_0)\) を満たすように、任意定数である \(C\) を確定させることである。