先生、教えて❕　～微分積分編～　（第一回）

では、今回から微分の基礎について学んでいこう。

さて、はじめにヒロトに聞きたいことがある。

『微分って何だ？』

うむ、計算できることも大切だが、ここで聞いているのは、数学的な厳密な定義ではなくて、微分に対して自分が持っているイメージだ。

うむ、うまくかわしたな。

微分って何？に対する俺の答えはこうだ！

『瞬間の速さの計算法！』

いや、そのやり方で求めた速さを正確には『平均の速さ』と言うのだ。

ここで言う『瞬間の速さ』とは別物だ。

いい質問だ！具体例で説明しよう。

自宅から、どこでもいいがドライブに行ったことを想像してみてくれ。

例えば自宅から \(100㎞\) 離れている温泉まで行くのに\(2\) 時間かかったとしよう。

このとき、車の速さはどうなる？

そうなるな。しかしだ、少し想像してみてくれ。

車に乗って温泉に行くときずっと時速 \(50km\) で走っていたのかい？

信号もあるだろうし、途中どこかで休憩するかもしれないだろう？

すると、今求めた時速 \(50km\) というのはいったい何を意味するのか？

ふふ、気づいたみたいだな。そう、つまりそういう事なんだ。

途中信号で止まったり、高速に乗って走ったりしたとしても、トータルで2時間かかったということは、これらの速さの平均を取ると、時速 \(50km\) だということだ。これが、『道のり÷時間』で求めた速さを、平均の速さという理由だ。下の図を見ればイメージしやすいだろう。

では次に『瞬間の速さ』について説明しよう。

これは読んで字のごとくってやつだ。

ヒロトは車に乗っているとき、スピードメータ－を見たことあるだろう？

今車が何キロ出ているか教えてくれるメーターだ。

ふふふ、また気づいたようだな。そういうことだ。

瞬間の速さとは、まさにスピードメーターに表示されている、

今この瞬間の速さのことだ。

これで、『平均の速さ』と『瞬間の速さ』の違いが分かったろう？

すでに言ったとおりだ。

瞬間の速さを求める計算法が微分だってな。

さて、問題がはっきりしたところで、いよいよ微分の核心へと歩を進めたいと思う。

視覚的に考えるためにグラフを描いて説明しよう。横軸を時間 \(x\)、

縦軸を距離 \(y\) としたおなじみの座標を使おう。車の時間と距離の関係を表したグラフは \(y=f(x)=25x^{2}\) として単純化しているぞ。

ああ、ちょっと非現実的な状況だけど、考えやすくするための処置だと思ってくれ。

さて、先ほど自宅から温泉までの平均の速さを \(100\div2=50\) と求めたが、

これはこのグラフの世界では何を表しているか分かるかい？

中1の頃に習う1次関数を思い出してほしい。

1次関数のグラフは直線だったな。そして、直線には傾きというものがあっただろう？傾きの定義を思い出してごらん。

完璧だ！ということは、平均の速さ \(\frac{100}{2}\) は、グラフ的に何を表しているかもう分かるのではないか？

その通り！横軸が時間、縦軸が道のりのグラフにおいては、

平均の速さは、『2点を結ぶ直線の傾き』を表すことを忘れずにいてくれ。

では、次に瞬間の速さのついて考えて行こう。

とりあえず、 \(x=1\) における瞬間の速さを実際に求めることから始めよう。

さて、\(x=1\) のとき \(y=25\) だから、車は自宅からちょうど \(25km\) 進んだ地点にいることになるな。 求めるのはその地点に達した瞬間のスピードメーターの値だ。

うむ、とても自然な感覚だ。それでいいんだ。

もう少し具体的に考えてみよう。まず、1時間10秒後に車はどれくらい進んでいるか計算機を使ってもいいから計算してみてくれないか？

うむ、それは当たり前だぞ。

すると、『1時間から1時間10秒までの平均の速さ』が計算できるだろう？

よし、いいぞ。今求めたその『\(50.07\)』が、

『1時間から1時間10秒までの平均の速さ』ということだな。

つまり、わずか10秒間における平均の速さだ。

今にわかるさ、フフフ。

さて、大変なのを承知でもう一度同様の計算をしてもらうぞ。

今度は、『1時間から、1時間1秒までの平均の速さ』を計算してみてくれ。

ああ、かなり大変になるだろうな。ところで、中1のときに文字式をせっかく習ったんだから使ってみよう！つまり、\(h=\frac{1}{3600}\) とおいて計算すればいいんだよ。そうするほうがずっといいんだ。

それは、もちろんヒロトの『\(h\)』に決まってるだろう！

そうだろう？

さて、文字を使うことは、計算が楽になるのともう一つとても重要な役割があるのだ。

それは、一度 \(h\) を用いて計算してしまえば、あとは \(h\) に好きな数を代入すればよいということだ！

正にその通りだ！では、もう次の質問も怖くはないな？

『1時間から1時間0.1秒までの平均の速さ』はどうなる？

うむ！では、

『1時間から1時間0.01秒までの平均の速さ』はどうなる？

そうだな、そのような推測はどんどんしてくれ！

そろそろいい頃合いだな。

ところで、ヒロトよ、今我々は何を求めようとしてるのだ？

そうだったな。そして、我々は上の計算で1時間からわずかに時間をずらして、その間の平均の速さを求めてきたのであった。さて、このわずかにずらす時間をもっともっと短い時間にしていくとどうなるだろうか？

うん、それは正しい予想だ！

1時間からずらす時間をどんどん短くしていくと、その時の平均の速さは『1時間後の瞬間の速さ』に近づいていく。『瞬間』というのは具体的な数として表せないから、上の計算のように限りなく0に近づけていく方法をとるしかないのだ。

その通りだ。今まさに我々は瞬間の速さの導出に成功したのだ！

そして、この計算法を数学的にコンパクトに表現したものが『微分』ということになるのだ。

ああ、その通りだ！では、最後の質問をしたいと思う。

瞬間の速さはグラフの世界では何を表しているのだろうか？

ああ、その通りだ！

平均の速さは、ある2点間の傾き、

瞬間の速さは、ある1点における接線の傾きを表すということだ。

さて、第1回はここまでにしよう。

次回は数学的な微分の定義とその性質についてやろうと思う。

今日はお疲れさん。