1階微分方程式　完全攻略　～第二回～

始めに

第一回では、１階線形微分方程式の右辺が０であるもの、つまり、\(y’+ a(x)y=0\) の具体例の解き方を見た。第一回を復習はこちらから

今回は、\(y’+ a(x)y=0\) の『一般解』を求めよう。
一般解とは、\(y’+ a(x)y=0\) の『解の公式』のようなものである。

よって、\(y’+ a(x)y=0\) の一般解を求めることは、\(y’+ a(x)y=0\) の形の微分方程式をとりあえず完全制覇したと思ってよい。解き方は、第1回で解いた具体例に対する解法と何ら変わらないことは見て頂ければ解るだろう。

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\(y’+ a(x)y=0\) の一般解

（問題）\(y’+ a(x)y=0\) を解け。

（解答）

両辺を \(y\) で割って、\(\frac{y’}{y}+a(x)=0\) ,

よって、\(\frac{d}{dx}log|y|=-a(x)\) （←最終目標達成！）,

両辺 \(x\) で積分して、\(\log|y|=-\int a(x) dx +C_1\) （\(C_1\)は定数)

よって、\(|y|=e^{C_1}e^{-\int a(x) dx}\) 、\(e^{C_1}\) は定数なので、改めて C とおくと、

\(y=Ce^{-\int a(x) dx}\) （\(C\)は定数) が答えとなる。

※解答の詳細については、第一回にあります。必要ならば確認してほしい→こちらから

ここで、指数関数の右肩に乗っている関数が複雑な関数の場合、次のように書く流儀がある。今後必要ならばどんどん使っていこうと思うので慣れていこう。

つまり、\(e^{f(x)}\) について\(f(x)\) が複雑な関数のとき、$$e^{f(x)}=exp(f(x))$$ と書く。

この書き方では、求める解は、$$ y=Cexp(-\int a(x) dx)　(C は定数)$$となる。

※指数関数 \(e^{x}\) のことを英語で、「exponential」と言うことから来ている。

一般解を求めたら

上記のように一般解を求めたら、しっかりと記憶しておくとより良いだろう。しかし、もし忘れても『解き方』が身についていれば、いつでも復元可能だからあまり気にすることはない。問題を解いていくうちに自然と覚えてしまうのが理想的だ。

そして、大事なことは \(y’+ a(x)y=0\) の『型』を覚えておいて、微分方程式をを解く問題に出会ったら、この形にあてはまるかどうかを、まず見極めるのである。もし、あてはまったならば次に、\(a(x)\) は何か？という具合である。

『一の型』

今後、\(y’+ a(x)y=0\) の形をした微分方程式を『一の型』と呼ぼう！
今後の流れとして、我々は様々な型に対する個々の解法をを一つずつ習得していく。

型に対する解法を一つマスターするごとに、倒せる微分方程式が爆発的に増えていくという訳だ。

第２回の最後に、上で学んだことを使って、次の練習問題たちを倒してみよう。

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練習問題　～一の型編～

※条件：『一の型』の一般解を用いて一撃で解を求めよ

（１）\(y’-(2x+1)y=0\)

（２）\(y’-\frac{1}{cos^{2}x}xy=0\)

（３）\( (1+x^{2})y’-2xy=0\)

さて、いかがだっただろうか？

『型』を覚え、その結果を用いることによって、「解くスピード＝倒すスピード」がとても速くなったと感じただろう。

まだまだ、道は長いがこの調子で頑張って『型』を極めていこう！

では、またディープな数学の世界で会おう！

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