初めに
本ページは、『1階微分方程式 完全攻略』 第一回～第十回を一通り学んだ後に、理解度の定着を確認するための演習プリントである。全8問あり、標準時間は50分である。ぜひ時間を計ってやってみてほしい。
ポイントは、与えられた微分方程式が『どの型』なのかを見極めることである。見極めることができたなら、あとはその型に対する解法を適用していくのだ。
8問中6問以上できた人は合格である。良かったら次の『2階微分方程式の解法』へ進むといいだろう。
では、健闘を祈る。
第1問
$$y’=\frac{2}{x}y の一般解を求めよ。$$
第2問
$$初期値問題 \begin{cases}y’-(logx)y=0 \\y(1)=2 \end{cases} の解を求めよ。$$
第3問
$$y’+\frac{2}{tanx}y=\frac{1}{sin^{2}x}の一般解を求めよ。$$
よって、\(\mu(x)=sin^{2}x\) を与式の両辺にかけると、$$(与式)\Leftrightarrow \frac{d}{dx}(y \cdot sin^{2}x)=1$$と変形される。両辺 \(x\) で積分して、$$y\cdot sin^{2}x=x+C、$$$$したがって、y=\frac{x}{sin^{2}x}+\frac{C}{sin^{2}x} (C は積分定数).$$
第4問
$$初期値問題 \begin{cases}y’+2xy=e^{-x^{2}} \\y(0)=1 \end{cases} の解を求めよ。$$
第5問
$$yy’+(1+y^{2})x^{-1}=0 の一般解を求めよ。$$
\(f(y)=\frac{y}{1+y^{2}}\) の原始関数は、\(F(y)=\frac{1}{2}log(1+y^{2})\) であるから、$$(与式)\Leftrightarrow \frac{d}{dx}(log(1+y^{2}))=-\frac{2}{x}$$と変形される。両辺を \(x\) で積分して、$$log(1+y^{2})=-2log|x|+C_1=logx^{-2}+C_1、$$$$したがって、1+y^{2}=Cx^{-2} となる。(陰関数表示)$$
第6問
$$初期値問題 \begin{cases}y’=3x^{2}\sqrt{1-y^{2}} \\y(0)=1 \end{cases} の解を求めよ。$$
第7問
\(初期値問題 \begin{cases}ysinx+siny+cosx+(xcosy+siny-cosx)y’=0\\y(0)=\pi \end{cases}\)
の解を求めよ。
\begin{cases}
M(x , y)=ysinx+siny+cosx\\
N(x , y)=xcosy+siny-cosx とおくと、
\end{cases}
\begin{cases}
\frac{\partial M}{\partial y}=sinx+cosy\\
\frac{\partial N}{\partial x}=cosy+sinx
\end{cases}
つまり、$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$を満たすので『完全形』である。
したがって、定理１より、
\begin{cases}
\frac{\partial \phi}{\partial x}=M(x , y)\\
\frac{\partial \phi}{\partial y}=N(x , y) つまり、
\end{cases}
\begin{cases}
\frac{\partial \phi}{\partial x}=ysinx+siny+cosx\\
\frac{\partial \phi}{\partial y}=xcosy+siny-cosx を満たす関数 \phi(x , y) が存在する。
\end{cases}
第１式の両辺を \(x\) で積分し、かつ、第２式の両辺を \(y\) で積分すると、
\begin{cases}
\phi(x , y)=-ycosx+xsiny+sinx+p(y)・・・①\\
\phi(x , y)=xsiny-cosy-ycosx+q(x)・・・② を得る。
\end{cases}
①、②の両辺を見比べて、
\begin{cases}
p(y)=-cosy\\
q(x)=sinx が分かる。
\end{cases}
したがって、$$\phi(x , y)=xsiny-ycosx+sinx-cosy$$となる。
これより、与式は、$$\frac{d}{dx}\phi(x , y)=0、$$つまり、$$\frac{d}{dx}(xsiny-ycosx+sinx-cosy)=0$$と変形でき、両辺を \(x\) で積分することにより、$$xsiny-ycosx+sinx-cosy=C （C は定数）$$として解を得る。（陰関数表示）
これで、与式の一般解は得られた。
これに、初期条件である、\(x=0、y=\pi\) を代入して、\(C=1-\pi\) したがって、求める解は、$$x^{3}y+4x^{2}y^{2}+4y^{3}=1-\pi$$となる。(陰関数表示)
第8問
$$初期値問題 \begin{cases}2x(e^{y}+y)+(e^{y}+1)y’=0\\y(0)=1 \end{cases} の解を求めよ。$$
したがって、定理1より、
\begin{cases}
\frac{\partial \phi}{\partial x}=2x(e^{y}+y)e^{x^{2}}\\
\frac{\partial \phi}{\partial y}=(e^{y}+1)e^{x^{2}}
\end{cases}
を満たす関数 \(\phi(x , y)\) が存在する。これより、
\begin{cases}
\phi(x , y)=(e^{y}+y)e^{x^{2}}+p(y)・・・①\\
\phi(x , y)=(e^{y}+y)e^{x^{2}}+q(x)・・・② を得る。
\end{cases}
①、②の両辺を見比べて、\(p(y)=q(x)=0\) として、$$\phi(x , y)=(e^{y}+y)e^{x^{2}}$$ を得る。
したがって、\((\star)\) は$$\frac{d}{dx}\left((e^{y}+y)e^{x^{2}}\right)=0$$ と変形され、これより、一般解：$$(e^{y}+y)e^{x^{2}}=C (C は定数) を得る。$$
これに、初期条件である、\(x=0、y=1\) を代入して、\(C=e+1\) したがって、求める解は、$$(e^{y}+y)e^{x^{2}}=e+1$$となる。
最後に
さていかがだっただろうか？後半になるにつれ、計算量が多くなり大変だったのではないだろうか？もし、時間内に終わらなくともじっくり時間をかけてできたのなら全然OKだ！スピードというのは練習次第で改善されるものだからだ。
上の解答は、とても丁寧に作ったのでかなり長いものもあるが、慣れてきたら書く量を減らしていってよいだろう。必要最小限の式だけで解けるようになるのが理想的だ。
もし、六問以上できなかったら、もう一度対応する回を復習して、また再挑戦すればよいだろう。
今後、『2階微分方程式』についても、その解法を体系的に説明する記事を作成したいと思う。
1階微分方程式の解法よりも数段レベルが上がるが、ここまで到達し、合格したならば何も心配はないだろう。良かったら自信をもって挑戦してみてほしい。
では、またディープな数学の世界で会おう！
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