第十回 解答
問題.28 解答
解答の前に
本問は与えられた演算が『エルミート内積』になることを示す問題だ。エルミート内積の定義については、問題と一緒に書いておいた。もう一度書くと、
エルミート内積とは、\(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間 \(V\) において、\(c\ \in\ \mathbb{C}\) と \(\boldsymbol{x}、\boldsymbol{y}、\boldsymbol{z}\ \in\ V\) に対して、次の(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ)を満たす演算 \((\ \cdot\ , \ \cdot\ ) (\in\ \mathbb{C})\) のことをいう。ただし、\(c\ \in\ \mathbb{C}\) に対して、\(\bar{c}\) は共役複素数を表す。
(ⅰ) ・\((\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} , \boldsymbol{z})=(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{z})+(\boldsymbol{y} , \boldsymbol{z})\)
・\((\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})=(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})+(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{z})\)
(ⅱ) ・\((c\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})=c(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\)
・\((\boldsymbol{x} , c\boldsymbol{y})=\overline{c}(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\)
(ⅲ) ・\((\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\)=\(\overline{(\boldsymbol{y} , \boldsymbol{x})}\)
(ⅳ) ・\((\boldsymbol{x} , \boldsymbol{x}) \ge 0\)
・ \((\boldsymbol{x} , \boldsymbol{x}) = 0 \Longleftrightarrow \boldsymbol{x}=0\)
普通の内積(つまり、\(\mathbb{R}\) 上の内積)と違う点は、(ⅱ)の \((\boldsymbol{x} , c\boldsymbol{y})=\overline{c}(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\) と
(ⅲ)の \((\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\)=\(\overline{(\boldsymbol{y} , \boldsymbol{x})}\) だ。
これらは、普通の \(\mathbb{R}\) 上の内積のときには、\(r\ \in\ \mathbb{R}\) に対して、\((\boldsymbol{x} , r\boldsymbol{y})=r(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\)、および \((\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\)=\((\boldsymbol{y} , \boldsymbol{x})\) となるので、これは \(\mathbb{R}\) 上の内積の定義そのものとなる。
言い方を変えれば、普通の \(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間においてはエルミート内積は、普通の内積と一致する、ということだ。
エルミート内積の最も簡単な具体例は、\(C\) 上のベクトル空間 \(\mathbb{C}^{n}\) において、\(\boldsymbol{z}、\boldsymbol{w}\ \in\ \mathbb{C}^{n}\) に対して、$$(\boldsymbol{z} , \boldsymbol{w})=^{t}\!\!\boldsymbol{z}\overline{\boldsymbol{w}}=(z_1 , \cdots , z_n)\begin{pmatrix}\overline{w_1}\\\vdots\\ \overline{w_n}\end{pmatrix}=z_1\overline{w_1}+z_2\overline{w_2}+\cdots+z_n\overline{w_n}$$と定めたものだろう。このように定めた演算が、(ⅰ)～(ⅳ)を満たすことのチェックは容易にできるのでぜひやってみてほしい。
一応、(ⅱ)の第二式について証明してみると、
\((\boldsymbol{z} , c\boldsymbol{w}) \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ ^{t}\!\boldsymbol{z}(\overline{c\boldsymbol{w}})=\overline{c}(^{t}\!\boldsymbol{z}\overline{\boldsymbol{w}})\)=\(\overline{c}(\boldsymbol{z} , \boldsymbol{w})\)、
また、(ⅲ)について証明してみると、
\((\boldsymbol{z} , \boldsymbol{w}) \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ ^{t}\!\boldsymbol{z}\overline{\boldsymbol{w}}=^{t}\!\overline{\boldsymbol{w}}\boldsymbol{z}=\overline{^{t}\!\boldsymbol{w}\overline{\boldsymbol{z}}}=\overline{(\boldsymbol{w} , \boldsymbol{z})}.\) \(q.e.d.\)
見ての通り、わざわざ \(z_1w_1+z_2w_2+\cdots+z_nw_n\) のように成分に直さなくとも、
転置と共役の性質だけ、つまり、$$ ^{t}\!(A+B)=\ ^{t}A +\ ^{t}B 、 ^{t}\!(AB)=\ ^{t}B\ ^{t}\!A と、$$ $$\overline{AB}=\overline{A}\ \overline{B} 、 \overline{(\overline{A})}=A$$ だけを使って証明できることに注目してほしい。上の証明では、共役の性質しか使ってないが・・・。
問題.28もすべてこのように証明できるぞ。
さて、今回の問題を見て行こう。問題を今一度書くと、
『\(A、B\ \in\ M_{m,n}(\mathbb{C})\) に対して、演算を
$$(A , B)\stackrel{\mathrm{def}}{=}tr(^{t}\!A\overline{B}) (\in\ \mathbb{C})$$
と定義すると、これはエルミート内積になることを示せ。』
やることはこの演算が(ⅰ)～(ⅳ)を満たすことをチェックすることだ。
問題.28の解答
(ⅰ)を満たすこと：
\(A、B、C\ \in\ M_{m,n}(\mathbb{C})\) に対して、
$$(A+B , C)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ tr(^{t}\!(A+B)\overline{C})=tr(^{t}\!A\overline{C}+\ ^{t}\!B\overline{C})=tr(^{t}\!A\overline{C})+tr(^{t}\!B\overline{C})$$ $$=(A , C)+(B , C)、$$
$$(A , B+C)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ tr(^{t}\!A(\overline{B+C}))=tr(^{t}\!A\overline{B}+\ ^{t}\!A\overline{C})=tr(^{t}\!A\overline{B})+tr(^{t}\!A\overline{C})$$ $$=(A , B)+(A , C).$$
したがって、(ⅰ)を満たす。
(ⅱ)を満たすこと： \(c\ \in\ \mathbb{C}\) に対して、
$$(cA , B)\stackrel{\mathrm{def}}{=}tr(^{t}\!(cA)\overline{B})=tr(c(^{t}\!A\overline{B}))=c\cdot tr(^{t}\!A\overline{B})=c(A , B)、$$
$$(A , cB)\stackrel{\mathrm{def}}{=}tr(^{t}\!A(\overline{cB}))=tr(^{t}\!A\overline{c}\overline{B})=\overline{c}\cdot tr(^{t}\!A\overline{B})=\overline{c}(A , B)、$$
したがって、(ⅱ)を満たす。
(ⅲ)を満たすこと：
$$(A , B)\stackrel{\mathrm{def}}{=}tr(^{t}\!A\overline{B})=tr(^{t}\!(^{t}\!A\overline{B}))=\overline{tr(^{t}\!B\overline{A})}=\overline{(B , A)}$$
ここで、\(tr(^{t}\!A\overline{B})=tr(^{t}\!(^{t}\!A\overline{B}))\) についてだが、\(trA\) は行列 \(A\) の対角成分の和であるから、転置をとっても影響は受けないことはよろしいだろうか？
つまり、\(trA=tr(\ ^{t}\!A)\) がいえるのだ。
したがって、(ⅲ)を満たす。
(ⅳ)を満たすこと：
\((A , A)\stackrel{\mathrm{def}}{=}tr( ^{t}\!A\overline{A})\) ここで、\(A\) を列ベクトル表示すると、\(A=(\boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n) 、したがって、 ^{t}\!A =\begin{pmatrix}^{t}\boldsymbol{a}_1\\ \vdots\\ ^{t}\boldsymbol{a}_n\end{pmatrix}\) であるから、
$$^{t}\!A \overline{A}=\begin{pmatrix}^{t}\boldsymbol{a}_1\\ \vdots\\ ^{t}\boldsymbol{a}_n\end{pmatrix}(\overline{\boldsymbol{a}_1} , \cdots , \overline{\boldsymbol{a}_n})=\begin{pmatrix}^{t}\!\boldsymbol{a}_1\overline{\boldsymbol{a}_1}&\cdots & ^{t}\!\boldsymbol{a}_1\overline{\boldsymbol{a}_n}\\ \vdots&\ & \vdots \\^{t}\!\boldsymbol{a}_n\overline{\boldsymbol{a}_1}& \cdots & ^{t}\!\boldsymbol{a}_n\overline{\boldsymbol{a}_n} \end{pmatrix} 、$$
ここで、各成分について、\(^{t}\!\boldsymbol{a}_i\overline{\boldsymbol{a}_i}=(a_{1i} , \cdots , a_{ni})\begin{pmatrix}\overline{{a}_{1i}}\\ \vdots\\ \overline{{a}_{ni}} \end{pmatrix}=|a_{1i}|^{2}+\cdots+|a_{ni}|^{2}\) より、
$$(A , A)\stackrel{\mathrm{def}}{=}tr( ^{t}\!A\overline{A})=tr\begin{pmatrix}^{t}\!\boldsymbol{a}_1\overline{\boldsymbol{a}_1}&\cdots & ^{t}\!\boldsymbol{a}_1\overline{\boldsymbol{a}_n}\\ \vdots&\ & \vdots \\^{t}\!\boldsymbol{a}_n\overline{\boldsymbol{a}_1}& \cdots & ^{t}\!\boldsymbol{a}_n\overline{\boldsymbol{a}_n} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^{n}\ ^{t}\!\boldsymbol{a}_i\overline{\boldsymbol{a}_i}$$
$$=\sum_{i=1}^{n}|a_{1i}|^{2}+\cdots+|a_{ni}|^{2} \ge 0$$
$$よって、(A , A) \ge 0$$
また、$$(A , A)=0 \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n}|a_{1i}|^{2}+\cdots+|a_{ni}|^{2}=0 $$$$\Longleftrightarrow a_{1i}=\cdots=a_{ni}=0 (1 \le i \le n)$$$$\Longleftrightarrow \boldsymbol{a}_i=\boldsymbol{0} (1 \le i \le n)$$$$ \Longleftrightarrow A=O$$
したがって、(ⅳ)も満たす。
以上により、\(A、B、C\ \in\ M_{m,n}(\mathbb{C})\) に対して、$$(A , B)\stackrel{\mathrm{def}}{=}tr(^{t}\!A\overline{B}) (\in\ \mathbb{C})$$
と定義すると、これはエルミート内積になることが示された。 \(q.e.d.\)
問題.29 解答
解答の前に
問題.29は大学受験にも頻繁に登場する、『コーシー・シュバルツの不等式』を証明する問題だ。
大切な点は二つある。一つ目は、本問は \(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間 \(V\) における(エルミート)内積に対して示せという問題だということだ。
上でも説明したが、\(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間 \(V\) における(エルミート)内積は、
『通常の内積』そのものであった。この場合、コーシー・シュバルツの不等式の証明は、受験参考書などにも載っている有名な方法でできるぞ！ ポイントは、『判別式』を利用することだ！
二つ目は、ノルムという『内積』を用いて定義された新しい概念についてだ。もう一次書くと、
$$\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{x})}$$
これは、距離という概念を一般化したようなものだと思ってよい。実際に、\(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間 \(\mathbb{R}^{2}\) におけるノルムとは、\(\boldsymbol{x}=(x , y)\) に対して、
$$\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{x})}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$となって、点 \((x , y)\) の原点からの距離に一致する。我々が考えている一般的なベクトル空間は、もちろん \(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間 \(\mathbb{R}^{2}\) だけではなく、『行列の集合』や、『関数の集合』などといったベクトル空間も考察の対象となる。なので、距離に対応する一般的な概念を定義する必要性が生じるわけだ。
問題.29の解答
\(t\ \in\ \mathbb{R}\) に対して、
$$0 \le (t\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} , t\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=(t\boldsymbol{x} , t\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+(\boldsymbol{y} , t\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})$$$$=t^{2}(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{x})+(t\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})+(\boldsymbol{y} , t\boldsymbol{x})+(\boldsymbol{y} , \boldsymbol{x})$$$$=t^{2}\|\boldsymbol{x}\|^{2}+2t(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})+\|\boldsymbol{y}\|^{2}$$
したがって、\(t^{2}\|\boldsymbol{x}\|^{2}+2t(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})+\|\boldsymbol{y}\|^{2} \ge 0\) を得る。任意の実数 \(t\) に対してこれが成り立つということは、判別式：\(D \le 0\) が成り立つ。すなわち、
$$4(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})^{2}-4\|\boldsymbol{x}\|^{2}\|\boldsymbol{y}\|^{2} \le 0$$$$\Longleftrightarrow |(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})| \le \|\boldsymbol{x}\|^{2}\|\boldsymbol{y}\|^{2}$$が成り立つ。
これは、コーシー・シュバルツの不等式に他ならない。 \(q.e.d.\)
問題.30 解答
解答の前に
問題.30は、問題.29とほとんど同じ問題で、『コーシー・シュバルツの不等式』を示す問題だ。ただし今回は、
\(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間 \(V\) におけるエルミート内積に対して、
『コーシー・シュバルツの不等式』
$$|(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})| \le \|\boldsymbol{x}\|\cdot\|\boldsymbol{y}\|$$が成り立つことを示せ、という問題だ。
「上と同じようにできるのでは？」と思うかもしれないが、ぜひ一度やってみてほしい。
エルミート内積と、通常の内積の違いをもう一度書くと、
(ⅱ) \((\boldsymbol{x} , c\boldsymbol{y})=\overline{c}(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\)
(ⅲ) \((\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})\)=\(\overline{(\boldsymbol{y} , \boldsymbol{x})}\)
の二つであった。複素数 \(\alpha\ \in\ \mathbb{C}\) においてはもちろん、\(\alpha \ne \overline{\alpha}\) である。ここが障害となるのだ。実際にどうなるのかは計算をしてみて行こう！
問題.30の解答
\(t\ \in\ \mathbb{C}\) に対して、
$$0 \le (t\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} , t\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=(t\boldsymbol{x} , t\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+(\boldsymbol{y} , t\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})$$$$=t\overline{t}(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{x})+(t\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})+(\boldsymbol{y} , t\boldsymbol{x})+(\boldsymbol{y} , \boldsymbol{x})$$$$=t\overline{t}\|\boldsymbol{x}\|^{2}+t(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})+\overline{t}\overline{(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})}+\|\boldsymbol{y}\|^{2}$$
したがって、\(t\overline{t}\|\boldsymbol{x}\|^{2}+t(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})+\overline{t}\overline{(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})}+\|\boldsymbol{y}\|^{2} \ge 0 \cdots ①\) を得る。
ここで、①の左辺は2次方程式でないので、判別式は使えないのだ！
この時点で、問題.29の \(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間のときのようにうまくいかないことが分かっただろう。
さて、これからどうしようか？
ここを突破するには、\(t\ \in\ \mathbb{C}\) が任意の複素数であることに注目する。任意ということは好きな複素数を代入しても①は成り立つということだ。そこで、\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}\) に対して、
$$t=-\frac{\overline{(\boldsymbol{x} ,\boldsymbol{y})}}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}$$と定めると、$$\overline{t}=-\frac{(\boldsymbol{x} ,\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}$$ であるから、代入して、
$$\frac{|(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})|^{2}}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}-\frac{|(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})|^{2}}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}-\frac{|(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})|^{2}}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}+\|\boldsymbol{y}\|^{2} \ge 0$$となる。第1項と第2項がキャンセルされて、
$$-\frac{|(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})|^{2}}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}+\|\boldsymbol{y}\|^{2} \ge 0$$$$\Longleftrightarrow |(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y})| \le \|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|$$が成り立つ。
これは、コーシー・シュバルツの不等式に他ならない。 \(q.e.d.\)
上の証明において、$$t=-\frac{\overline{(\boldsymbol{x} ,\boldsymbol{y})}}{\|\boldsymbol{x}\|^{2}}$$と定めるなんて誰が気付くのか？ と思うかもしれない。
私もその一人であった。このような時は、このような発想は凡人の及ぶところではないと思って、先人が見出した、方法に感嘆し覚えるほかないのだ。
まるで素晴らしい絵画を見るような感覚に近い。
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