はじめに
長かった線形代数厳選問題もラスト3問になった。
最後は、『実対称行列、実交代行列、2次形式』に関する問題だ。知っておくだけで得する知識が盛りだくさんなので全てマスターしておきたいところだ。一問ずつでいいのでじっくり取り組んでいこう。
問題.34
\(n\) 次実行列 \(A、B\) について、以下の主張を示せ。
(1) \(A\) が対称行列 (\({}^{t}\!A=A\)) のとき、\(A\) の固有値はすべて実数であり、
かつ異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する。
(2) \(B\) が交代行列 (\({}^{t}\!B=-B\)) のとき、\(B\) の固有値は \(0\) または純虚数であり、
かつ対角化可能である。
問題.35
2次形式：\(d(x_1 , x_2 , x_3)=x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}-2x_1x_3\) について、以下の問いに答えよ。
(1) \(d(x_1 , x_2 , x_3)\) を定める行列 \(A\) を求めよ。
(2) \(d(x_1 , x_2 , x_3)\) の標準形を求めよ。（=主軸変換せよ）
問題.36
2次曲線 \(C : f(x , y)=2x^{2}+2xy+2y^{2}=3\) はどのような曲線であるか調べよ。
最後に
最後の問題たちの解説はこちらだ。ここまで本当にお疲れ様！
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