先生、教えて❕　～微分積分編～　（第九回）

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{(\cos x\cosh-\sin x\sin h)-\cos x}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{\cos x(\cosh-1)-\sin x\sin h}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{\cos x(\cosh-1)}{h}-\lim_{h \to 0}\frac{\sin x\sin h}{h}$$

$$x だけの関数は \lim_{h \to 0} の影響を受けないので \lim_{h \to 0} の外に出して、$$

$$=\cos x\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\cosh-1}{h}-\sin x\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}$$

ここで、

$$\lim_{h \to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0\ \ ,\ \ \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}=1$$

であることは前回示したので、結局、

$$(上式)=\cos x \cdot 0-\sin x \cdot 1=-\sin x$$

$$したがって、(\cos x)’=-\sin x \ となる。$$

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}$$

ここで、タンジェントの加法定理より、

$$\tan (x+h)=\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h} \ であるからこれを代入して、$$

$$(上式)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h}-\tan x}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{\tan x+\tan h-\tan x(1-\tan x\tan h)}{h(1-\tan x\tan h)}$$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{\tan h+\tan ^{2}x\tan h}{h(1-\tan x\tan h)}$$

$$商の微分公式：\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)} より、$$

$$f'(x)=(\tan x)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{(\sin x)’\cos x-\sin x(\cos x)’}{\cos ^{2}x}$$

$$ここで、(\sin x)’=\cos x\ \ ,\ \ (\cos x)’=-\sin x \ であったから、$$

$$(上式)=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos ^{2}x}=\frac{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}$$

\(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\) であるから、上式の分子は \(1\) となる。よって、

$$(\tan x)’=\frac{1}{\cos ^{2}x}$$

$$(\sin x)’=\cos x\ \ ,\ \ (\cos x)’=-\sin x\ \ ,\ \ (\tan x)’=\frac{1}{\cos ^{2}x}$$